纳什均衡

蓝柠汐_K4A05

纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。

假设有n个局中人参与博弈，如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益(即为了自身利益的最大化，没有任何单独的一方愿意改变其策略的)，则此策略组合被称为纳什均衡。所有局中人策略构成一个策略组合(Strategy Profile)。纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。

纳什均衡达成时，并不意味着博弈双方都处于不动的状态，在顺序博弈中这个均衡是在博弈者连续的动作与反应中达成的。纳什均衡也不意味着博弈双方达到了一个整体的最优状态，需要注意的是，只有最优策略才可以达成纳什均衡，严格劣势策略不可能成为最佳对策，而弱优势和弱劣势策略是有可能达成纳什均衡的。在一个博弈中可能有一个以上的纳什均衡，而囚徒困境中有且只有一个纳什均衡。

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折叠数学定义

纳什均衡的定义:在博弈G=﹛S1,…,Sn:u1,…，un﹜中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合(s1*,…，sn*)中，任一博弈方i的策论si*，都是对其余博弈方策略的组合(s1*,…s*i-1,s*i+1,…，sn*)的最佳对策，也即ui(s1*,…s*i-1,si*,s*i+1,…，sn*)≥ui(s1*,…s*i-1,sij*,s*i+1,…，sn*)对任意sij∈Si都成立，则称(s1*,…，sn*)为G的一个纳什均衡。

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经济学定义

所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。

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纳什均衡可以分成两类:"纯战略纳什均衡"和"混合战略纳什均衡"。
要说明纯战略纳什均衡和混合战略纳什均衡，要先说明纯战略和混合战略。
所谓纯战略是提供给玩家要如何进行赛局的一个完整的定义。特别地是，纯战略决定在任何一种情况下要做的移动。战略集合是由玩家能够施行的纯战略所组成的集合。而混合战略是对每个纯战略分配一个机率而形成的战略。混合战略允许玩家随机选择一个纯战略。混合战略博弈均衡中要用概率计算，因为每一种策略都是随机的，达到某一概率时，可以实现支付最优。因为机率是连续的，所以即使战略集合是有限的，也会有无限多个混合战略。
当然，严格来说，每个纯战略都是一个"退化"的混合战略，某一特定纯战略的机率为 1，其他的则为 0。
故"纯战略纳什均衡"，即参与之中的所有玩家都玩纯战略;而相应的"混合战略纳什均衡"，之中至少有一位玩家玩混合战略。并不是每个赛局都会有纯战略纳什均衡，例如"钱币问题"就只有混合战略纳什均衡，而没有纯战略纳什均衡。不过，还是有许多赛局有纯战略纳什均衡(如协调赛局，囚徒困境和猎鹿赛局)。甚至，有些赛局能同时有纯战略和混合战略均衡。

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折叠硬币正反

你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议:"让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。"那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢?这基本是废话，当然该。问题是，这个游戏公平吗?

每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少;或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡。

你\美女
美女出正面
美女出反面
你出正面
+3，-3
-2，+2
你出反面
-2，+2
+1，-1
假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，由此列出方程就是

3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x )
纳什均衡
纳什均衡

解方程得x=3/8。

同样，美女的收益，列方程

-3y + 2( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)

解得y也等于3/8，而美女每次的期望收益则是 2(1-y)- 3y = 1/8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1/8元。

其实只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案，不论你再采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元;如果全部出反面，每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是-1/8元。但是当你也采用最佳策略时，至少可以保证自己输得最少。否则，你肯定就会被美女采用的策略针对，从而赔掉更多。

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纳什均衡理论奠定了现代主流博弈理论和经济理论的根本基础，正如克瑞普斯(Kreps，1990)在《博弈论和经济建模》一书的引言中所说，"在过去的一二十年内，经济学在方法论以及语言、概念等方面，经历了一场温和的革命，非合作博弈理论已经成为范式的中心……在经济学或者与经济学原理相关的金融、会计、营销和政治科学等学科中，现在人们已经很难找到不懂纳什均衡能够'消费'近期文献的领域。"纳什均衡的重要影响可以概括为以下六个方面

1.改变了经济学的体系和结构。非合作博弈论的概念、内容、模型和分析工具等，均已渗透到微观经济学、宏观经济学、劳动经济学、国际经济学、环境经济学等经济学科的绝大部分学科领域，改变了这些学科领域的内容和结构，成为这些学科领域的基本研究范式和理论分析工具，从而改变了原有经济学理论体系中各分支学科的内涵。

2.扩展了经济学研究经济问题的范围。原有经济学缺乏将不确定性因素、变动环境因素以及经济个体之间的交互作用模式化的有效办法，因而不能进行微观层次经济问题的解剖分析。纳什均衡及相关模型分析方法，包括扩展型博弈法、逆推归纳法、子博弈完美纳什均衡等概念方法，为经济学家们提供了深入的分析工具。

3.加强了经济学研究的深度。纳什均衡理论不回避经济个体之间直接的交互作用，不满足于对经济个体之间复杂经济关系的简单化处理，分析问题时不只停留在宏观层面上而是深入分析表象背后深层次的原因和规律，强调从微观个体行为规律的角度发现问题的根源，因而可以更深刻准确地理解和解释经济问题。

4.形成了基于经典博弈的研究范式体系。即可以将各种问题或经济关系，按照经典博弈的类型或特征进行分类，并根据相应的经典博弈的分析方法和模型进行研究，将一个领域所取得的经验方便地移植到另一个领域。

5.扩大和加强了经济学与其他社会科学、自然科学的联系。纳什均衡之所以伟大，就因为它普通，而且普通到几乎无处不在。纳什均衡理论既适用于人类的行为规律，也适合于人类以外的其他生物的生存、运动和发展的规律。纳什均衡和博弈论的桥梁作用，使经济学与其他社会科学、自然科学的联系更加紧密，形成了经济学与其他学科相互促进的良性循环。

6.改变了经济学的语言和表达方法。在进化博弈论方面相当有造诣的坎多利(Kandori，1997)对保罗·萨缪尔森(Paul Samuelson)的名言"你甚至可以使一只鹦鹉变成一个训练有素的经济学家，因为它必须学习的只有两个词，那就是'供给'和'需求'"，曾做过一个幽默的引申，他说，"现在这只鹦鹉需要再学两个词，那就是'纳什均衡'"。

mjj0915

纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。

Pirate

我们做决策时可以用好那什均衡。

16210180229

每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少;或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡。