经济学模型解释你为什么单身？

金融工程张璁

转自 知乎

金融工程张璁

之前有一个很火的知乎问题是经济学中有哪些理论可以用在恋爱中。看着大家各种花样虐狗，我想说单身狗也是有狗权的。我来教大家如何用经济学模型解释你为什么单身。

劳动经济学中的search model（寻找理论）用来解释单身再合适不过了。单身也是一种”失业“。Search model最早提出于上世纪六十年代，用来描述个人寻找工作的过程，从而解释为什么会存在失业的现象。下面我希望通过介绍这个模型解释为什么会存在单身的现象（。。还不是看脸？）。

金融工程张璁

直接上数学，前方高能，可能引起不适。结论在最后。

假设有这样一个王老五，他风险中性，有着\beta=\frac{1}{1+r}  的折现系数( r是利率)。这个王老五为了找对象，每天不停的刷Tinder。假设每过一段时间，会有一个姑娘看对了眼，也选择了向右滑动。这个一段时间的长度可能由颜值决定，颜值高可能就分分钟的事吧；颜值低就长一点，一个月两个月，总会撞上一个的吧。然后，这个姑娘的颜值服从一定的分布，我们可以记做 F(y), 其概率密度函数记做 f(y)。 那么现在王老五就要面临一个选择了，要不要放弃自己的单身生活，让这个颜值为y的姑娘做自己的女朋友呢。假设王老五在每单位时间里可以获得的单身效用是 b。而寻找妹子的过程非常耗费精力，一个单位时间要消耗的效用是 v (注：v也可以是一个负数，也就是寻找妹子的过程也可以是非常愉悦的)。那么一个积极寻找妹子的王老五每单位时间里获得的效用是 b-v。而在拥有了女朋友以后，王老五每时间单位获得的效用值与妹子颜值相等，是y。在这里，为了方便计算我们假设了每个妹子的维护成本都是0。（当然在现实中一般来说维护成本可能是y的函数）。在我们第一个要描述的模型中，我们先排除王老五是渣男的可能性。也就是说王老五不会背着女朋友再找别人。

金融工程张璁

在这里我们可以看到，因为不是渣男的王老五有着“决定爱一个人就爱一辈子(除非被甩)”的信条，他面临的一个主要的trade-off是，选择一个颜值一般的姑娘，就意味着放弃了未来可能出现的深爱自己的超模姑娘，但是等到漂亮姑娘可能性很低，如果选择等待，一辈子单身也说不定。

现在我们要通过bellman equation来解出王老五会接受颜值多少以上的姑娘。假设王老五在某一时刻 t 开始时是单身的，我们用V表示从这一时刻 t 起，王老五每一时刻都做出最佳选择后一生可以达到的幸福值。 为了简便计算，我们假设王老五的一生很长，无穷无尽，因此 V 是 stationary的，也就是说从任何一个时刻计算V都应该是一个定值。因此我们可以写下下面这个均衡状态的等式：

V=b-v+\beta\int_{0}^{\infty}max (V,\frac{y}{1-\beta}) f(y)dy

金融工程张璁

在等式的左边是在 t 时刻的一生幸福值，而等式的右边将这个分解开来成为两个和。右边第一项 b-v 是 t 时刻作为积极寻找妹子的单身的效用，第二项则是将t+1时刻以后所有的效用贴现。max(V, \frac{y}{1-\beta})代表了老王要在两个选择中决定一个。如果选择了颜值为 y 的妹子，他以后就不用单身了！可以每一个时刻都获得 y 的效用，也就是\sum_{k=0}^{\infty}\beta^k y=\frac{y}{1-\beta} 。而如果他放弃了妹子，下一个时刻开始的时候他依然是单身，余生幸福值是V。老王会选择给他最多幸福感的那个，但是这取决于遇到的妹子颜值 y。于是我们通过积分和概率密度函数求得老王下一时刻可以得到的幸福值的期望。

重写之后我们可以得到：

V(1-\beta)=b-v+\frac{\beta}{1-\beta}\int_{0}^{\infty}max(0,y-(1-\beta)V)f(y)dy

金融工程张璁

观察积分里面的部分我们可以知道，老王选择女朋友的条件是颜值高于y^*=(1-\beta)V就行，y^*是最低颜值标准。把它重新代入上面的公式中，消去V，我们可以得到：

y^*=b-v+\frac{1}{r}\int_{y^*}^{\infty}(y-y*)f(y)dy
等号右边都是已知量，所以如果我们知道老王的个人信息，以及喜欢老王的妹子的颜值分布就可以算出老王应该设定的最低颜值标准。

为了更方便理解，我们可以进一步重写上面的算式：

y^*-(b-v)=\frac{1}{r}\times P(y\geq y^*)\times {E(y-y^*|y\geq y^*)}

金融工程张璁

这个公式反映的就是我们在开头写的那个intuition。左手边是老王告别单身，拥有一个y^*女朋友在一时间单位收获的效用，而右手边是他放弃了潜在更漂亮女友折现后的损失。在均衡状态下，收获与损失相等，设定y^*的标准可以老王走上人生巅峰，取得人生最大幸福值。

由此，我们有了颜值标准就可以计算告别单身的概率（exit hazard rate）:

exit \phantom{a} hazard=P(y\geq y^*)=1-F(y*)
从这个公式我们可以看出什么？ 告别单身的概率的是随着标准升高而降低的。

所以以后有人再有人问你，你为什么一直单身呢？

你可以告诉她（他），从经济学的原理来解释，主要是我标准太高。

金融工程张璁

她要是说，这不是废话吗。。需要经济学原理？

你可以微微一笑，说，不不不，经济学原理还说了，我为什么可以设置高标准？

我们回头看颜值标准的公式，

很明显 y^*是随着b 增长的。而b是一个人单身时可以获得的效用。

所以你可以说，我可以设置高标准是因为，我有自己的兴趣爱好，有独立的人格，懂得享受单身的时光，享受生活的快乐。

金融工程张璁

颜值标准的公式还告诉我们，y^*与喜欢王老五的妹子的颜值分布有关。

所以你还可以可以说，我可以设置高标准是因为，喜欢我的姑娘颜值普遍比较高，有的特别高，因此进入一段感情对我来说机会成本太大。

最关键的，我们之前的推导都建立在一个重要的假设之上：王老五不是渣男。

所以，你还应该着重强调：“你知道吗，其实最根本的原因是。。” （这时候对方大概要脑补：难道你是深柜。。）

“最根本的原因是，我觉得，选择了一个人，就要一辈子对她好。”

金融工程张璁

以上对话我没有实践过，祝你好运。

（如果你回去仔细看之前的推导前提，其实经济学模型还说了，你单身时间长的真正原因是：还是脸不行。高颜值的人跟我们使用的时间单位不一样。有的人遭遇表白的时间单位大概是以天计算的，而有的人是以年计算的。不过这个你自己心里默默知道就好了。）